| 1°. f1 + f2 + ... + fn = fn+2 - 1. | (1) |
Доказательство.
| f1 = f3 - f2 |
| f2 = f4 - f3 |
| ... |
| fn-1 = fn+1 - fn |
| fn = fn+2 - fn+1. |
Сложив все эти равенства почленно, получим
и так как f2 = 1, получим (1).
2°. f1 + f3 + f5 + ... + f2n-1 = f2n.
3°. f2 + f4 + ... + f2n = f2n+1 - 1.
Свойства 2° - 3° доказываются аналогично 1°.
| 4°. f12 + f22 + ... + fn2 = fn·fn+1. | (2) |
Доказательство. Легко заметить, что имеет место соотношение
Из этого соотношения получаем равенства
| f12 = f1·f2, |
| f22 = f2·f3 - f1·f2, |
| f32 = f3·f4 - f2·f3, |
| ... |
| fn2 = fn·fn+1 - fn-1·fn. |
Складывая эти равенства почленно получаем (2).
| 5°. Показать, что fn+m = fn-1·fm + fn·fm+1, | (3) |
где fn обозначает n-ый член последовательности Фибоначчи.
Доказательство. Зная общий вид члена fn (см. (2)) можно подставив его в показать, что имеет место (3) равенство. Докажем (3 ) используя метод математической индукции. Проведем индукцию по m О N.
Для m = 1, равенство (3) примет вид
что очевидно. При m = 2 формула (3) также очевидна. Действительно,
Таким образом, пусть основание индукции проверено (m = 1; m = 2). Пусть (3) верно для m = k и m = k + 1. Докажем, что тогда (3) верно и для m = k + 2.
Таким образом, пусть верны равенства
| fn+k = fn-1fk + fnfk+1, |
| fn+k+1 = fn-1fk+1 + fnfk+2. |
Суммируя почленно последниие равенства, получим равенство
которое представляет (3) при m = k + 2.
6°. f2n = fn-1fn + fn·fn+1.
Доказательство следует из (3) при m = n.
7°. Член f2n делится на fn.
Доказательство. Из 6° следует
откуда следует, что f2n 
fn.
8°. 
9°. 
Свойства 8° - 9°, являющиеся прямыми следствиями 6°, предлагается доказать самостоятельно.
| 10°. fn2 = fn-1fn+1 + (-1)n+1 | (4) |
Доказательство. Будем доказывать равенство (4) индукцией по n. При n = 2 равенство (4) преобразуется в справедливое равенство
Предположим, что равенство (4) справедливо для n и докажем, что тогда оно справедливо и для n + 1. Таким образом, пусть справедливо равенство
Прибавим к обеим частям последнего равенства fn·fn+1. В результате получим
или
и так как fn+2 = fn + fn+1 (см. определение последовательности Фибоначчи), заключаем что
или
Следовательно (4) справедливо и для n + 1.
11°. Показать, что если n делится на m, то fn делится на fm.
Доказательство. Пусть n m, т.е. n = mk. Докажем свойство 11° индукцией по k. При k = 1, n = m, следовательно fn делится на fm. Предположим, что fmk делится на fm. Рассмотрим fm(k+1). Из равенства fm(k+1) = fmk+m на основании соотношения (3) получим
Первый член суммы из правой части равенства, очевидно, делится на fm. Второй член делится на fm согласно индукционному предположению. Следовательно сумма этих членов делится на fm, и значит, fm(k+1) fm. Свойство 11° доказано.