Пятница, 11.07.2025, 06:51
Приветствую Вас Гость | RSS

Специальные числа

Статистика

Онлайн всего: 1
Гостей: 1
Пользователей: 0

Замечательные свойства чисел Фибоначчи

1°f1 + f2 + ... + fn = fn+2 - 1. (1)

Доказательство.

f1 = f3 - f2
f2 = f4 - f3
...
fn-1 = fn+1 - fn
fn = fn+2 - fn+1.

Сложив все эти равенства почленно, получим

f1 + f2 + ... + fn = fn+2 - f2,

и так как f2 = 1, получим (1).

2°f1 + f3 + f5 + ... + f2n-1 = f2n.

3°f2 + f4 + ... + f2n = f2n+1 - 1.

Свойства 2° - 3° доказываются аналогично 1°.

4°f12 + f22 + ... + fn2 = fn·fn+1. (2)

Доказательство. Легко заметить, что имеет место соотношение

fn·fn+1 - fn-1fn = fn(fn+1 - fn-1) = fn2     (n О N).

Из этого соотношения получаем равенства

f12 = f1·f2,
f22 = f2·f3 - f1·f2,
f32 = f3·f4 - f2·f3,
...
fn2 = fn·fn+1 - fn-1·fn.

Складывая эти равенства почленно получаем (2).

5°. Показать, что   fn+m = fn-1·fm + fn·fm+1, (3)

где fn обозначает n-ый член последовательности Фибоначчи.

Доказательство. Зная общий вид члена fn (см. (2)) можно подставив его в показать, что имеет место (3) равенство. Докажем (3 ) используя метод математической индукции. Проведем индукцию по m О N.

Для m = 1, равенство (3) примет вид

fn+1 = fn-1·f1 + fn·f2,

что очевидно. При m = 2 формула (3) также очевидна. Действительно,

fn+2 = fn-1f2 + fnf3 = fn-1 + 2fn = fn-1 + fn + fn = fn+1 + fn.

Таким образом, пусть основание индукции проверено (m = 1; m = 2). Пусть (3) верно для m = k и m = k + 1. Докажем, что тогда (3) верно и для m = k + 2.

Таким образом, пусть верны равенства

fn+k = fn-1fk + fnfk+1,
fn+k+1 = fn-1fk+1 + fnfk+2.

Суммируя почленно последниие равенства, получим равенство

fn+k+2 = fn-1·fk+2 + fn·fk+3,

которое представляет (3) при m = k + 2.

6°f2n = fn-1fn + fn·fn+1.

Доказательство следует из (3) при m = n.

7°. Член f2n делится на fn.

Доказательство. Из 6° следует

f2n = fn(fn-1 + fn+1),

откуда следует, что f2n  fn.

8°

9°

Свойства 8° - 9°, являющиеся прямыми следствиями 6°, предлагается доказать самостоятельно.

10°. fn2 = fn-1fn+1 + (-1)n+1 (4)

Доказательство. Будем доказывать равенство (4) индукцией по n. При n = 2 равенство (4) преобразуется в справедливое равенство

f22 = f1·f3 - 1,

Предположим, что равенство (4) справедливо для n и докажем, что тогда оно справедливо и для n + 1. Таким образом, пусть справедливо равенство

fn2 = fn-1·fn+1 + (-1)n+1.

Прибавим к обеим частям последнего равенства fn·fn+1. В результате получим

fn2 + fn·fn+1 = fn-1·fn+1 + fn·fn+1 + (-1)n+1,

или

fn(fn + fn+1) = fn+1(fn-1 + fn) + (-1)n+1,

и так как fn+2 = fn + fn+1 (см. определение последовательности Фибоначчи), заключаем что

fnfn+2 = fn+12 + (-1)n+1,

или

fn+12 = fn·fn+2 + (-1)n+2.

Следовательно (4) справедливо и для n + 1.

11°. Показать, что если n делится на m, то fn делится на fm.

Доказательство. Пусть n  m, т.е. n = mk. Докажем свойство 11° индукцией по k. При k = 1, n = m, следовательно fn делится на fm. Предположим, что fmk делится на fm. Рассмотрим fm(k+1). Из равенства fm(k+1) = fmk+m на основании соотношения (3) получим

fm(k+1)2 = fmk-1fm + fmk·fm+1.

Первый член суммы из правой части равенства, очевидно, делится на fm. Второй член делится на fm согласно индукционному предположению. Следовательно сумма этих членов делится на fm, и значит, fm(k+1)  fm. Свойство 11° доказано.

Вход на сайт
Поиск

Разработчики сайта: Иушина Анастасия, Михиенко Дарья. Красноярск, ИМФИ, 2025
Конструктор сайтовuCoz