Гармонические числа

В математике, n-м гармоническим числом называется сумма обратных величин первых n последовательных чисел натурального ряда:

$H_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k}=1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n}.$

Гармонические числа являются частичными суммами гармонического ряда.

Гармонические числа можно определить рекуррентно следующим образом:

$\begin{cases} H_n = H_{n-1} + \frac{1}{n} \\ H_1 = 1 \end{cases}$

Основные свойства

$H_{1/5} = 5 - \frac{5 \ln5}{4} - \frac{1}{2} \sqrt{1 + \frac{2}{\sqrt{5}} } \pi - \frac{\sqrt{5}}{2} \ln\phi,$

где $\phi$ — золотое сечение.

$H_{1/7} = 7 - \ln14 - \frac{\pi}{2} \cot\frac{\pi}{7} - 2 \cos\left(\frac{ \pi}{ 7}\right) \ln\left(\cos\frac{ \pi}{14}\right) + 2 \sin\left(\frac{3\pi}{14}\right) \ln\left(\sin\frac{ \pi}{ 7}\right) - 2 \sin\left(\frac{ \pi}{14}\right) \ln\left(\cos\frac{3\pi}{14}\right)$