Четверг, 10.07.2025, 21:57
Приветствую Вас Гость | RSS

Специальные числа

Статистика

Онлайн всего: 1
Гостей: 1
Пользователей: 0

Гармонические числа

В математике, n-м гармоническим числом называется сумма обратных величин первых n последовательных чисел натурального ряда:

 H_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k}=1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n}.

Гармонические числа являются частичными суммами гармонического ряда.

Гармонические числа можно определить рекуррентно следующим образом:

 \begin{cases} H_n = H_{n-1} + \frac{1}{n} \\ H_1 = 1 \end{cases}
Основные свойства

Значения от нецелого аргумента

  •  H_{1/2} = 2 - 2\ln2
  •  H_{1/3} = 3 - \frac{3 \ln3}{2} - \frac{\pi}{2 \sqrt{3}}
  •  H_{1/4} = 4 - 3\ln2 - \frac{\pi}{2}
  •  H_{1/5} = 5 - \frac{5 \ln5}{4} - \frac{1}{2} \sqrt{1 + \frac{2}{\sqrt{5}} } \pi - \frac{\sqrt{5}}{2} \ln\phi,
где  \phi  — золотое сечение.
  • H_{1/7} = 7 - \ln14 - \frac{\pi}{2} \cot\frac{\pi}{7} - 2 \cos\left(\frac{ \pi}{ 7}\right) \ln\left(\cos\frac{ \pi}{14}\right) + 2 \sin\left(\frac{3\pi}{14}\right) \ln\left(\sin\frac{ \pi}{ 7}\right) - 2 \sin\left(\frac{ \pi}{14}\right) \ln\left(\cos\frac{3\pi}{14}\right)

Суммы, связанные с гармоническими числами

  •  \sum_{k=1}^\infty \frac{H_k}{k} = \infty
  •  \sum_{k=1}^\infty \frac{H_k}{k^2} = 2 \zeta(3)
  •  \sum_{k=1}^\infty \frac{H_k}{k^3} = \frac{5}{4} \zeta(4) = \frac{\pi^4}{72}
  •  \sum_{k=1}^\infty \frac{H_k}{k^4} = 3 \zeta(5) - \zeta(2)\zeta(3) = 3 \zeta(5) - \frac{\pi^2}{6}\zeta(3)

Теоретико-числовые свойства

  • Теорема Вольстенхольма утверждает, что для всякого простого числа p>3 выполняется сравнение:
    H_{p-1} \equiv 0 \pmod{p^2}.
Вход на сайт
Поиск

Разработчики сайта: Иушина Анастасия, Михиенко Дарья. Красноярск, ИМФИ, 2025
Конструктор сайтовuCoz