В любой системе счисления все числа, делящиеся без остатка на «n» - разрядные делители, состоящие из одних единиц, приводятся к «n» -разрядным числам, состоящим из одинаковых цифр.

 теорема: Если умножить некоторое «n»-разрядное число, состоящее из одних единиц, на любое целое число N,то полученное произведение можно привести к «n» - разрядному числу, состоящему из одних и тех же цифр

Для этого нужно проделать следующее:

1.  Разбить произведение справа налево по разрядности «n».
2. Сложив части числа и получить некоторую сумму.
3.  Если разрядность суммы больше «n», то для нее (как для произведения) повторить операции1 и 2.
4.  Операции 1, 2 и 3 повторять до тех пор, пока разрядность суммы не станет равной «n».

ПРИМЕРЫ:

• Сначала для ясности рассмотрим численные примеры в десятичной системе счисления (Рис.1).
• Умножив, например, 111 на 9876, получим 1 096 236.
• Разбиваем 1 096 236 на трехразрядные числа.
• Имеем числа 236, 096 и 1.
• Сложив их, получим число 333.

• Если число 111 умножить на 89 876, то получим 9 976 236.
• Разбиваем 9 976 236 на трехразрядные числа.
• Имеем числа 236, 976 и 9.
• Сложив их, получим 1221.
• Разбиваем 1221 на трехразрядные числа.
• Имеем 221 и 1. Сложив их, получим 222.

Доказательство:

Теорема доказывается методом математической индукции.

Для случая N=1, очевидно, теорема верна. Допустим, что она справедлива для N=K.Это значит, что произведение n-разрядного числа, состоящего из одних единиц, и К с помощью операций 1, 2 и 3 приводится к «n» -разрядному числу, состоящему из одних и тех же цифр. Обозначим эти цифры буквой А. Теперь умножим n-разрядное число, состоящее из одних единиц, на К+1. Умножить на К+1означает, что к произведению n-разрядного числа, состоящего из одних единиц, и К надо прибавить еще одно число, состоящее из одних единиц. Прибавим к ранее полученному n-разрядному числу, состоящему из одинаковых цифр А, «n» -разрядное число, состоящее из одних единиц. Рассмотрим два возможных результата. Если А < 10 - 1, где 10 - основание системы счисления сомножителей, то получим n-разрядное число, состоящее из одних и тех же цифр А+1. Если A = 10 - 1, после сложения получим (n+1)-разрядное число, состоящее из «n» единиц и «0»(нуля) в первом разряде. Тогда с помощью операции 3 оно приводится к n-разрядному числу, состоящему из одних единиц. Таким образом, теорема доказана для любого N.