Четверг, 10.07.2025, 12:32
Приветствую Вас Гость | RSS

Специальные числа

Статистика

Онлайн всего: 1
Гостей: 1
Пользователей: 0

Числа Стирлинга второго рода

Числа Стирлинга второго рода

В комбинаторике числом Стирлинга второго рода из n по k, обозначаемым S(n, k) или \textstyle \lbrace{n\atop k}\rbrace, называется количество неупорядоченных разбиений n-элементного множества на k непустых подмножеств. 
 
Рекуррентная формула 

Числа Стирлинга второго рода удовлетворяют рекуррентному соотношению:

Явная формула

 S(n, k) = \frac{1}{k!}\sum\limits_{j=0}^k(-1)^{k+j}\binom{k}{j}j^n.

Пример

Начальные значения чисел Стирлинга второго рода приведены в таблице:

 S(n, n) = 1 , для n ≥ 0,
 S(n, 0) = 0 , для n > 0,
 S(n, k) = S(n-1, k-1) + k \cdot S(n-1, k)  для 0 < k < n.
n\k 0 1 2 3 4 5 6
0 1 0 0 0 0 0 0
1 0 1 0 0 0 0 0
2 0 1 1 0 0 0 0
3 0 1 3 1 0 0 0
4 0 1 7 6 1 0 0
5 0 1 15 25 10 1 0
6 0 1 31 90 65 15 1

Свойства

  •  x^n = \sum_{k=0}^n S(n, k) \cdot (x)_k,  где (x)_k = x (x-1) \cdots (x-k+1).
  • S(m,n)=\sum^{m-1}_{i=n-1} \binom{m-1}{i}\,S(i,n-1)
  • \sum_{m=0}^n S(n,m) = B_n — число Белла.

Вход на сайт
Поиск

Разработчики сайта: Иушина Анастасия, Михиенко Дарья. Красноярск, ИМФИ, 2025
Конструктор сайтовuCoz