Меню сайта

Статистика

Онлайн всего: 1

Гостей: 1

Пользователей: 0

Фигурные числа

Давным-давно, помогая себе при счете камушками, люди обращали внимание на правильные фигуры, которые можно выложить из камушков. Можно просто класть камушки в ряд: один, два, три. Если класть их в два ряда, чтобы получались прямоугольники, мы обнаружим, что получаются все четные числа. Можно выкладывать камни в три ряда: получатся числа, делящиеся на три. Всякое число, которое на что-нибудь делится, можно представить таким прямоугольником, и только простые числа не могут быть "прямоугольными". А что если складывать треугольник? Треугольник получается из трех камушков: два в нижнем ряду, один в верхнем, в ложбинке, образованной двумя нижними камнями. Если добавить камень в нижний ряд, появится еще одна ложбинка; заполнив ее, мы получим ложбинку, образованную двумя камушками второго ряда; положив в нее камень, мы наконец получим треугольник. Итак, нам пришлось добавить три камушка. Следующий треугольник получится, если добавить четыре камушка. Выходит, что на каждом шаге мы добавляем столько камней, сколько их становится в нижнем ряду. Если теперь считать, что один камень - это тоже треугольник, самый маленький, у нас получится такая последовательность чисел: 1, 1+2=3, 1+2+3=6, 1+2+3+4=10, 1+2+3+4+5=15 и т. д. Итак, фигурные числа - это общее название чисел, геометрическое представление которых связано с той или иной геометрической фигурой.

Виды фигурных чисел

Различают следующие виды фигурных чисел:

Линейные числа — числа, не разлагающиеся на сомножители, то есть их ряд совпадает с рядом простых чисел, дополненным единицей:

1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, …
Плоские числа — числа, представимые в виде произведения двух сомножителей, то есть составные:

4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, …
Телесные числа — числа, представимые произведением трёх сомножителей:

8, 12, 16, 18, 20, 24, 27, 28, …
Многоугольные числа

Многоугольные числа

n-е по порядку m-угольное число $P_n$ можно определить как сумму n членов арифметической прогрессии, у которой первый член есть 1, а разность равна $m-2$ . Например, треугольные числа получаются как частичные суммы ряда $1+2+3+4 \dots$ .

Треугольные числа

Последовательность треугольных чисел:

1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, …, $\frac{n(n+1)}{2}$ , …

Свойства:

Сумма двух последовательных треугольных чисел даёт полный квадрат (квадратное число).
Чётность элемента последовательности меняется с периодом 4: нечётное, нечётное, чётное, чётное.

Квадратные числа

1	4	9

Квадратные числа представляют собой произведение двух одинаковых натуральных чисел, то есть являются полными квадратами:

Пятиугольные числа

1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117, 145, …, $\frac{n(3n-1)}{2}$ , …

Шестиугольные числа

1, 6, 15, 28, 45, 66, 91, 120, 153, 190, …, $2n^2-n$ , …

Общий случай

Последовательность k-угольных чисел:

1, k, 3k-3, 6k-8, 10k-15, 15k-24, 21k-35, 28k-48, 36k-63, 45k-80, …, $n + (k - 2)\frac{n(n-1)}{2}$ , …

Эквивалентный формат представления n-го элемента: $\frac{n((k - 2)(n-1)+2)}{2}$ .

Можно определить многомерные фигурные числа, частными случаями которых являются:

Изоэдральные многомерные фигурные числа.

Элементарные многомерные фигурные числа:
- Гиперкубические: $A^k_n=n^k$
- Симплексные: $P^k_n=\frac{(n-1+k)!}{(n-1)!k!}$
- Гипероктаэдрные: $T^k_n=T^{k-1}_n+T^k_{n-1}+T^{k-1}_{n-1}$ , где $T^1_n=n$ . П

Трехмерные правильные фигурные числа:

$P^3_n=n+(e-2)\frac{n(n-1)}{2}+(f-m)(k-2)\frac{n(n-1)(n-2)}{6},$

где e — число вершин многогранника, f — число его граней, k — число сторон каждой грани, m — число граней, примыкающих к каждой вершине.

Четырехмерные правильные фигурные числа $P^4_n=n+(E-2)\frac{n(n-1)}{2}+(G-\frac{m_f}{2})(f-m)(k-2)\frac{n(n-1)(n-2)}{6}+(G-m_f)(f-m)(k-2)\frac{n(n-1)(n-2)(n-4)}{24},$

где E — число вершин, G — число граней $m_f$ — число многогранных углов вершины.

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, …, n², …

Вход на сайт

Поиск

Друзья сайта

Разработчики сайта: Иушина Анастасия, Михиенко Дарья. Красноярск, ИМФИ, 2025
Конструктор сайтов — uCoz

Специальные числа

Фигурные числа

Треугольные числа

Квадратные числа

Шестиугольные числа

Общий случай