Карточный фокус, который демонстрирует, насколько “гармонично” возникают гармонические числа уже в простых ситуациях. Положив на стол n карт и сдвигая их относительно друг друга, нам хотелось бы образовать как можно больший выступ над краем стола с учетом действия силы тяжести (см. рис. 1).
Для большей определенности задачи потребуем, чтобы края карт были параллельны краю стола, — в противном случае величину выступа можно было бы увеличить, разворачивая карты так, чтобы их уголки выступали немного дальше. А для того чтобы упростить ответ, предположим, что длина каждой карты равна 2 единицам.
Для одной карты максимальная величина выступа получается тогда, когда ее центр тяжести находится ровно над краем стола (будем считать, что в этом случае равновесие будет устойчивое). А поскольку центр тяжести находится в центре карты, то мы можем образовать выступ длиной в половину карты, т.е. длиной в 1 единицу.
Для двух карт нетрудно убедиться, что максимальная величина выступа получается тогда, когда центр тяжести верхней карты находится ровно над краем второй карты, а общий центр тяжести обеих карт — ровно над краем стола. А поскольку общий центр тяжести двух карт будет находиться посередине их совмещенных частей, то мы в состоянии увеличить величину выступа еще на пол-единицы.
Подобные обстоятельства подсказывают общий метод, в соответствии с которым карты помещаются так, чтобы центр тяжести k верхних карт находился ровно над краем (k + 1)-й карты (которая положена под эти k верхних карт). Стол же играет роль n + 1-й карты. Для того чтобы выразить это условие алгебраически, можно обозначить через dk расстояние от выступающего края самой верхней карты до соответствующего края k-й сверху карты (см. рис. 1).
Надо также вспомнить уроки физики. Из них читателю, очевидно, известно, что центр тяжести k предметов, которые имеют веса w1, w2, …, wk и центры тяжести которых находятся соответственно в точках p1, p2, …, pk (см. рис. 2), расположен в точке p = (w1p1 + w2p2 + … + wkpk)/(w1 + w2 + … + wk). Это означает, что для двух карт можем записать:
Рис. 2
Заметим, что d1 = 0. В общем случае нужно положить dk + 1 равным центру тяжести k первых карт:
при 1≤k≤n.
А эту рекуррентную зависимость1 можно переписать в двух эквивалентных формах:
kdk + 1 = k + d1 + d2 + … + dk – 1 + dk, k≥0;
(k – 1)dk = k – 1 + d1 + d2 + … + dk – 1, k≥l.
Вычитание одного уравнения из другого показывает, что
kdk + 1 – (k – 1)dk = 1 + dk, k≥l;
следовательно, dk + 1 = dk + 1/k. Это означает, что вторая карта будет сдвинута на половину единицы длины относительно третьей карты, которая сдвинута на треть единицы длины относительно четвертой карты, и т.д. Отсюда по индукции вытекает общая формула
А если положить k = n, то получим dn + 1 = Нn — т.е. полная величина выступа, когда n карт уложены так, как описано выше, равна гармоническому числу “степени” n.
Интересный вопрос — а нельзя ли получить боўльшую величину выступа, воздерживаясь вначале от сдвига каждой карты на предельно возможное расстояние и накапливая “потенциальную энергию силы тяжести” для решающего сдвига? Нет, нельзя: всякое устойчивое расположение карт должно удовлетворять неравенству:
при 1≤k≤n.
К тому же d1 = 0. Отсюда по индукции следует, что dk+1≤Hk.