Четверг, 10.07.2025, 12:39
Приветствую Вас Гость | RSS

Специальные числа

Статистика

Онлайн всего: 1
Гостей: 1
Пользователей: 0

Числа Бернулли

Чи́сла Берну́лли — последовательность рациональных чисел B_0, B_1, B_2, \dots, впервые рассмотренная Якобом Бернулли в связи с вычислением суммы последовательных натуральных чисел, возведенных в одну и ту же степень:

Рекуррентная формула

Для чисел Бернулли существует следующая рекуррентная формула:

\displaystyle{B_0=1\; ,}
B_n=\frac{-1}{n+1}\sum_{k=1}^n C_{n+1}^{k+1} B_{n-k},\quad n\in\mathbb{N}.

Свойства

  1. Все числа Бернулли с нечётными номерами, кроме {\textstyle{B_1}}, равны нулю, а знаки чисел Бернулли с чётными номерами чередуются.
  2. Числа Бернулли являются значениями многочленов Бернулли {\textstyle{B_n(x)}} при {\textstyle{x=0}}:
\displaystyle{B_n = B_n(0)\;.}
3.  Числа Бернулли часто входят в коэффициенты разложения элементарных функций в степенной ряд. Например:
  • Экспоненциальная производящая функция для чисел Бернулли:
    \frac x{e^x-1}=\sum_{n=0}^\infty\frac{B_n}{n!}x^n, |x|< 2\pi,
  • x\;\operatorname{ctg} x=\sum_{n=0}^\infty (-1)^nB_{2n}\frac{2^{2n}}{(2n)!}x^{2n}, |x|<\pi,
  • \operatorname{tg} x=\sum_{n=1}^\infty|B_{2n}|\frac{2^{2n}(2^{2n}-1)}{(2n)!}x^{2n-1}, |x|<\pi/2.
\sum_{n=1}^{N-1} n^k=\frac1{k+1}\sum_{s=0}^k C_{k+1}^s B_s N^{k+1-s}, где C_n^m — биномиальный коэффициент, то есть C_n^m=\frac{n!}{m!(n-m)!}.
     4.  Эйлер установил связь между числами Бернулли и значениями дзета-функции Римана ζ(s) при четных s = 2k:
B_{2k}=2(-1)^{k+1}\frac {\zeta(2k)\; (2k)!} {(2\pi)^{2k}}.
Отсюда следует:
\displaystyle{B_n=-n\zeta(1-n)}\;\; для всех n.
  • \int\limits_0^\infty \frac{x^{2n-1}dx}{e^{2\pi x}-1}=\frac1{4n}|B_{2n}|,\quad n=1,2,\dots.

Вход на сайт
Поиск

Разработчики сайта: Иушина Анастасия, Михиенко Дарья. Красноярск, ИМФИ, 2025
Конструктор сайтовuCoz