Чи́сла Берну́лли — последовательность рациональных чисел , впервые рассмотренная Якобом Бернулли в связи с вычислением суммы последовательных натуральных чисел, возведенных в одну и ту же степень:
Рекуррентная формула
Для чисел Бернулли существует следующая рекуррентная формула:
Свойства
- Все числа Бернулли с нечётными номерами, кроме
, равны нулю, а знаки чисел Бернулли с чётными номерами чередуются.
- Числа Бернулли являются значениями многочленов Бернулли
при
:
- 3. Числа Бернулли часто входят в коэффициенты разложения элементарных функций в степенной ряд. Например:
- Экспоненциальная производящая функция для чисел Бернулли:
,
,
.
, где
— биномиальный коэффициент, то есть
.
- 4. Эйлер установил связь между числами Бернулли и значениями дзета-функции Римана ζ(s) при четных s = 2k:
-
- Отсюда следует:
для всех n.
-