Числа Бернулли

Чи́сла Берну́лли — последовательность рациональных чисел $B_0, B_1, B_2, \dots$ , впервые рассмотренная Якобом Бернулли в связи с вычислением суммы последовательных натуральных чисел, возведенных в одну и ту же степень:

Рекуррентная формула

Для чисел Бернулли существует следующая рекуррентная формула:

$\displaystyle{B_0=1\; ,}$

$B_n=\frac{-1}{n+1}\sum_{k=1}^n C_{n+1}^{k+1} B_{n-k},\quad n\in\mathbb{N}.$

Свойства

Все числа Бернулли с нечётными номерами, кроме ${\textstyle{B_1}}$ , равны нулю, а знаки чисел Бернулли с чётными номерами чередуются.
Числа Бернулли являются значениями многочленов Бернулли ${\textstyle{B_n(x)}}$ при ${\textstyle{x=0}}$ :

$\displaystyle{B_n = B_n(0)\;.}$

3. Числа Бернулли часто входят в коэффициенты разложения элементарных функций в степенной ряд. Например:

Экспоненциальная производящая функция для чисел Бернулли:

$\frac x{e^x-1}=\sum_{n=0}^\infty\frac{B_n}{n!}x^n, |x|< 2\pi$ ,
$x\;\operatorname{ctg} x=\sum_{n=0}^\infty (-1)^nB_{2n}\frac{2^{2n}}{(2n)!}x^{2n}, |x|<\pi$ ,
$\operatorname{tg} x=\sum_{n=1}^\infty|B_{2n}|\frac{2^{2n}(2^{2n}-1)}{(2n)!}x^{2n-1}, |x|<\pi/2$ .

$\sum_{n=1}^{N-1} n^k=\frac1{k+1}\sum_{s=0}^k C_{k+1}^s B_s N^{k+1-s}$ , где $C_n^m$ — биномиальный коэффициент, то есть $C_n^m=\frac{n!}{m!(n-m)!}$ .